基于压缩感知的医学图像配准融合研究文献综述

文献综述

1. 压缩感知基本理论框架

Candes等^[1]采用惩罚思想将有限的采样数据精确地重构了原始信号，但在图像的稀疏表示中，随机选取的稀疏系数只有不少于2K个（K是非零稀疏系数的个数），原始信号或图像才能被精确地重构，且具有惟一性的特点，这为压缩感知理论奠定了基础。Candes 和 Donoho 进行进一步的研究于 2006 年正式提出了压缩感知（Compressed Sensing，CS）的概念^[1-3]，其核心思想是将压缩与采样合并进行，将可压缩信号或在某个变换域内可以稀疏变化的信号，用一个与变换基不相关的测量矩阵将稀疏变换后的高维信号投影到低维空间，然后根据相应的重构算法从少量的低维投影中重构出原始信号。压缩感知的优点在于信号的投影测量数据量远远小于传统采样方法所获的数据量，突破了香农采样定理的瓶颈，使得高分辨率信号的采集成为可能^[4]。

压缩感知理论主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面^[5]。

（1）信号的稀疏表示^[6]

信号的稀疏性或可压缩性是描述信号复杂性的一种数学方法。很多自然图像存在变换域的稀疏性，合理地选择稀疏基可使信号变得稀疏从而满足可压缩的要求。稀疏表示具有两个特征：过完备性和稀疏性。字典的过完备性表示字典的行数大于列数，即信号的维数小于原子的个数，相比于正交变换基，构造的过完备字典含有的原子数目更多，能提供更稳定的稀疏表示。

（2）测量矩阵的选取^[7]

根据压缩感知理论，信号的采样、压缩编码是同时进行的。它以远低于Nyquist采样频率的速率对变换后得到的可压缩信号进行非自适应的测量编码。测量矩阵的选取需要满足非相干性和约束等距性（Restricted Isometry Property，RIP）^[8]两个基本原则，才能从信号的少量测量集中高概率重构原始信号。文献[9]指出测量矩阵约束等距性的一个等价条件是测量矩阵与稀疏表示基之间不相关，即若采用与稀疏变换基不相关的测量矩阵对信号压缩测量，原始信号可以经过某种变换后稀疏表示。

（3）重构算法的设计

重构算法思想是寻找合适的算法从少量的数据中精确恢复原有信号。重构算法是压缩感知理论的核心。目前，重构算法主要分为4类：1）凸优化算法；2）贪婪算法；3）非凸优化算法；4）其他算法。凸优化算法所需观测数目少，但是计算复杂度很高，所以算法的收敛速度非常慢；贪婪算法在运行时间上和在采样效率上较凸优化算法好；非凸优化算法所需观测数量少且有更稀疏的解，但计算复杂度高；其他算法，例如组合算法、贝叶斯算法，为重构算法提供了更多的思路。