非结构网格高精度有限体积方法的变分重构技术研究文献综述

1. 选题背景和意义：这种方法为有限体积法开创了新的时代，在控制计算量的前提下可以到达较高的精度，有着较高的抗分布误差的能力以及抵御数值耗散的能力。但是变分重构法处于创立阶段，很多东西尚无定论，比如是否可以引进权重方程优化泛函方程；是否可以使用其他形式的泛函方程获得更高的计算效率，这些问题都是本次选题的意义和研究方向。

   1. 有限体积法是适用于流体力学计算分析的一种高效方法。但是在过去一段时间内模板过大问题已经成为流体力学发展的重要瓶颈。在此基础上，最小二乘法顺应时代潮流和工程应用的需求被发明了出来。但是在实际的工程应用中最小二乘法面临着许多的问题，如重构矩阵的奇异性导致重构方程组可能无解，方法的鲁棒性不好。在此基础上，一种基于泛函变分原理的方法---变分重构法出现了，这种方法有着较强的鲁棒性，以及重构矩阵的非奇异性等等特点。
   2. 课题关键问题及难点：本次课题的关键问题及难点主要集中在以下几点：
   3. 使用c 程序编写一个可以使用最原始变分重构法的计算程序，其可以处理经过处理的网格文件，可以输出由其他程序处理的计算结果；
   4. 学习pointwise,Tecplot等等程序，完成自编程序的前处理以及后处理；
   5. 自行学习《高等代数》的相关内容，推导出适合的其他形式的泛函方程，同时进行边界上的相关处理；
   6. 探索合适的权重，达到最佳的谱特性；
   文献综述（或调研报告）：

课题国内外现状：变分重构法具有较强的鲁棒性，精确度，小计算量的特点。当前国内外对此方向的研究主要集中在初始阶段，现阶段的主要研究领域集中在如何选择合适的变分重构函数I，各种不同形式的I会导致最终的计算结果有着太大的差异么，或者说I的具体形式对计算性能并没有较大的影响呢？还有一个研究的热点领域就是计算量减小这一个问题，传统的方法都是将各个单元上的方程集合起来形成一个总的方程，但这个方程的规模过于庞大，现在方法就是扫描法，再计算每个单元的矩阵时直接计算结果，避免较大的计算量。

研究主要成果：目前变分重构法属于计算流体力学的前沿科学领域，在此领域进行开拓性研究的人并不是很多，因此目前的研究成果较为有限，主要集中在以下一些方面：

1. 对变分重构泛函方程I的构造，最早的变分重构方程是在边界面上定义的但是最新的研究成果已经开始研究单元体上定义的泛函I了；
2. 变分重构方程的求解方法主要传统是叠加成一个总的矩阵，然后求解线性方程组，但是最新的研究成果是在每一个单元上单独求解，避免了大规模矩阵运算造成了计算量和精度的下降；
3. 最新的变分重构前沿已经涉及到网格上的具体问题了，传统的变分重构法用于计算传统的非结构网格，但是最新的已经在设计大扭曲网格，自适应网格，耗散判据网格，种种网格在实际的粘性可压缩流体中可以达到更好的计算效果，但是会不会造成算法上精度的降低依然是一个待研究的领域；

发展趋势：变分重构法的发展趋势较为明显，主要有以下几点：

1. 更好的应用在大扭曲，自适应，耗散判据网格中，进一步加强模拟的精度，优化计算量，减小数值耗散，数值粘性的影响；
2. 寻找最优的或者是较优的泛函I，从数学上验证其性能，或者证明最优解不存在，从而将寻找方向转化至最简单形式I；
3. 优化计算方法，将传统计算方法进一步细化，将计算在每一步，每一个单元体上进行，便算边推进。

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